quinta-feira, março 29, 2007

Aviso ao Viajante: vós que não gostais de matemática afastai-vos

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O geek que há em mim está maravilhado com as particularidades da geometria não-euclidiana.
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A Geometria é o estudo das formas, e durante 2000 anos, considerou-se que todas as regras da geometria pareciam provir dos seguintes 5 postulados (ou seja, formulações intuitivas obtidas a priori e insusceptíveis de prova):
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1. Um segmento de linha recta pode ser desenhada juntando quaisquer 2 pontos;
2. Qualquer segmento de linha recta pode estender-se, em linha recta, indefinidamente
3. Dado qualquer segmento de linha recta, um círculo pode ser desenhado utilizando o segmento como rádio e uma das pontas como centro;
4. Todos os ângulos rectos têm a mesma amplitude;
5. Se uma linha recta cruzar outras duas linhas rectas, de tal forma que a soma dos ângulos internos for inferior a dois ângulos rectos, então estas duas últimas linhas rectas cruzar-se-ão eventualmente, se a sua extensão for suficiente (postulado das paralelas - vd. figura);













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O postulado das paralelas tem como corolário que, em cada ponto específico, apenas pode passar uma paralela a uma linha recta.
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É claro, em todo o caso, que este postulado é mais complexo que os restantes quatro, pelo que durante mais de 2000 anos se tentou provar que o postulado das paralelas podia ser derivado dos restantes quatro. Tal nunca tendo sido conseguido, a outra opção viável era demonstrar que o postulado das paralelas não é um postulado necessário.
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Ora, demonstrar que o postulado das paralelas não é necessário poderia passar por demonstrar que não era verdadeiro; a única forma que se encontrou de o fazer foi demonstrar que a geometria euclidiana não é a única geometria existente. .
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Ora, a geometria euclidiana baseia-se no pressuposto (ou seja, o postulado implícito) de que o espaço é plano. Se partirmos do pressuposto (logicamente admissível) que o espaço pode ser curvo, podemos admitir 3 tipos possiveis de geometria:
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- euclidiana, em que o espaço é plano (imagem uma folha de papel);
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- elíptica (nos termos da qual não existem paralelas), e da qual o melhor exemplo é pensar no espaço como a superfície de uma esfera (ou seja, imaginem que a folha de papel se transforma numa esfera. É um pouco como passar da Terra plana para o Planeta achatado nos Pólos);
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- e hiperbólica, que é o que aconteceria se em vez de a folha de papel se fechar numa esfera, a pudessemos dobrar em sentido contrário, da qual o melhor exemplo é a seguinte imagem:
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E o que é que isto significa para o postulado das paralelas? Vejam a figura seguinte e imaginem um ponto a meio da perpendicular (a linha na vertical).
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No caso do meio (geometria euclidiana) apenas uma linha pode passar por esse ponto sem interceptar as duas rectas. No caso mais à direita (geometria elíptica), qualquer linha que atravesse a perpendicular interceptará as duas outras linhas. No caso mais à esquerda (geometria hiperbólica), um número infinito de rectas pode passar pela perpendicular sem tocar nas duas outras linhas.
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E qual a utilidade, perguntam-se? Bom, a verdade é que a Teoria da Relatividade se baseia na ideia de que o espaço (em rigor, o espaço-tempo) é curvo; o que quer dizer que sem se perceber isto, será difícil perceber o nosso mundo.

Ps: Isto não está aqui para show-off; está aqui para que alguém me aponte os erros nesta construção (dou com pelo menos 2 conclusões não assentes nas premissas no meu texto, e não sei justificá-las).

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